Escrita científica em Markdown · Caderno de pesquisa

Uma nota de pesquisa pode reunir a formulação matemática, o procedimento computacional e seus resultados. Este exemplo usa a regra dos trapézios composta (Davis & Rabinowitz, 1984).

#Formulação

Para $f (x) = e^{- x}$ , a integral tem solução analítica. A referência $(1)$ funciona mesmo antes de apresentar a equação:

\begin{matrix} (1) & I = \int_{0}^{1} e^{- x} d x = 1 - e^{- 1} . \end{matrix}

Em uma malha uniforme, com $h = 1 / n$ , a aproximação é

\begin{matrix} (2) & T_{n} = h [\frac{f (0) + f (1)}{2} + \sum_{i = 1}^{n - 1} f (i h)] . \end{matrix}

#Implementação

quadratura.py

from math import exp

def trapezoid(n):
    h = 1 / n
    return h * ((1 + exp(-1)) / 2
                + sum(exp(-i * h) for i in range(1, n)))

for n in (8, 16, 32, 64):
    print(n, abs(trapezoid(n) - (1 - exp(-1))))

#Resultados

A tendência de segunda ordem é ilustrada em Figura 1.

Erro decrescente em escala logarítmica — Figura 1. Erro absoluto da regra dos trapézios; referência proporcional a h².

Subintervalos	Erro absoluto	Razão
8	8.2286 × 10⁻⁴	—
16	2.0576 × 10⁻⁴	3.9992
32	5.1441 × 10⁻⁵	3.9998
64	1.2860 × 10⁻⁵	4.0000

Tabela 1. Erro absoluto e razão entre erros em refinamentos sucessivos.

A Tabela 1 fornece os valores correspondentes ao gráfico.

Uma equação sem numeração

O delimitador duplo mantém a fórmula destacada sem incrementar o contador:

lim_{h \to 0} \frac{| I - T_{n} |}{h^{2}} = \frac{1 - e^{- 1}}{12} .

#Formulação

#Implementação

#Resultados

Referências