Integração numérica · Métodos Numéricos

#1 Aproximando uma integral

Considere uma função suave $f$ em $[a, b]$ . Divida o intervalo em $n$ subintervalos uniformes, com $h = (b - a) / n$ e $x_{i} = a + i h$ . A regra composta dos trapézios é

\begin{matrix} (1) & T_{n} = h [\frac{f (a) + f (b)}{2} + \sum_{i = 1}^{n - 1} f (x_{i})] . \end{matrix}

A expressão $(1)$ aproxima cada trecho da curva por um segmento de reta. Para $f \in C^{2} ([a, b])$ , o erro global é de ordem $h^{2}$ .

#2 Implementação

trapezoid.py

def trapezoid(f, a, b, n):
    if not isinstance(n, int) or isinstance(n, bool) or n < 1:
        raise ValueError("n must be a positive integer")
    h = (b - a) / n
    interior = sum(f(a + i * h) for i in range(1, n))
    return h * (0.5 * f(a) + interior + 0.5 * f(b))


approximation = trapezoid(lambda x: x * x, 0.0, 1.0, 4)
print(approximation)  # 0.34375

#3 Um caso verificável

Para $f (x) = x^{2}$ no intervalo $[0, 1]$ , a integral exata é $1 / 3$ . Neste caso, em aritmética exata,

\begin{matrix} (2) & T_{n} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6 n^{2}} . \end{matrix}

Assim, duplicar $n$ divide o erro por quatro. A tabela usa a expressão analítica do erro; valores em ponto flutuante podem diferir nas últimas casas decimais.

Subintervalos $n$	Erro $T_{n} - 1 / 3$
1	$1 / 6$
2	$1 / 24$
4	$1 / 96$
8	$1 / 384$

Tabela 1. Erro exato da regra dos trapézios para x² em [0,1].

Use Tabela 1 para conferir os resultados do notebook complementar.

Figura 1. A função x² e a interpolação linear usada por quatro trapézios em [0,1].

Em Figura 1, passe o cursor sobre os dados para inspecionar os valores ou use as ferramentas do gráfico para ampliar uma região. A área sob os segmentos de reta corresponde a $T_{4} = 0.34375$ .

#4 Exercícios

Implemente o método e verifique o erro para $n = 1, 2, 4, 8$ .
Calcule a razão entre os erros de duas malhas consecutivas.
Troque o integrando por $f (x) = x$ . Explique o resultado antes de executar.

Conferência do terceiro exercício

A regra dos trapézios integra funções afins exatamente em aritmética exata. Para $f (x) = x$ em $[0, 1]$ , o resultado esperado é $1 / 2$ para qualquer $n \geq 1$ .

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